Zunächst versuchen den Wagen beim Verkäufer auf den Hof zu stellen und nachbessern lassen - alles andere kostet dich Geld.
Ja zurückgeben wäre auch eine Option, dann müsste man sich nach einem neuen Wagen umsehen, das ist dann ein lästiges aber notwendiges Übel.
Ein Auto das nicht sauber fährt bringt dir hingegen auch nichts.
Eigentlich sollten bei diesen Symptomen auch Fehlerspeichereinträge vorhanden sein und evtl. sogar die Motorkontrollleuchte an sein.
Wenn die Fehler Richtung zylinderselektiver Aussetzer gehen, dann hast du ein Problem mit Einspritzung, Zündung oder Motorsteuergerät.
Wenn die Fehler wieder in Richtung Nockenwellenposition/-verstellung gehen, hast du ein Öldruck-, VANOS-, Magnetventilproblem oder gar wieder Steuerkette/Führungen aufgrund eines Einbaufehlers.
Günstig erworben ist schön und gut, aber der Wagen wird gerade wegen der Probleme so günstig gewesen sein. Und ist er noch immer so günstig, wenn du weißt was defekt ist und wie viel diese Reparatur kostet?
Ein Injektor allein ist 200 EUR Material (BMW), davon können bis zu 4 Stk. defekt sein.
Magnetventile für die VANOS sind fast 150 EUR/Stk. (BMW), die im schlimmsten Fall 2x. Grundsätzlich würde ich die immer vorher versuchen im Bremsenreinigerbad zu reinigen, könnte zumindest kurzfristig Abhilfe schaffen (wenn hier überhaupt ursächlich).
Zündanlage, insbesondere die Spulen, ist auch auffällig - ca. 30 EUR/Stk (Beru), bis zu 4x. Neue Kerzen schaden nie.
Das muss nicht alles auf einmal kaputt gehen (und wird es auch nicht) aber das sind gängige Probleme mit denen du dich bei diesem Auto auf lange Sicht herumschlagen könntest.
Die Liste ist auch nicht einmal wirklich vollständig, hier ein paar detailliertere Ausführungen:
https://www.bmw-syndikat.de/bmwsyndikatforum/topic396290_118i_Zucken_im_Motor_etc__.html&SearchTerms=https://www.bmw-syndikat.de/bmwsyndikatforum/topic397072_Erfahrungen_zu_Fehlzuendung_im_Zylinder_p030_.html&SearchTerms=Noch mehr über die Suchfunktion hier im Forum zu finden, ebenso über google.
Welche der oben genannten Teile man braucht, weiß man erst nach einer anständigen Diagnose Alleine anhand der geschilderten Problematik und ohne Fehlerspeicherauszüge wäre jedes Raten und jeder Teiletausch bloß auf Verdacht und evtl. unnötig teuer. Deshalb wäre es auch sinnvoll dieses Risiko den Verkäufer tragen zu lassen, um deinen Geldbeutel zu schonen.