Moin,
die Türpappe nach oben zu schieben war schon richtig, allerdings bin ich bei meinem Dicken seinerzeit immer gut an der Fensterleiste vorbei gekommen.
Beim Wieder-Einbau habe ich das Plastikteil vom Türgriff abmontiert, wie Du schon vorgeschlagen hast. Dabei habe ich eine kleine Wasserpumpenzange genommen, die beiden Blechstreifen, die das Ding festhalten, etwas zusammen gedrückt, das Teil abgezogen, bei Bedarf die Blechstreifen wieder auseinander gebogen (aber nicht zu dolle!), das Plastikteil dann auf die Türpappe gesetzt und die Pappe ganz locker aufgesetzt.
Schwieriger war es für mich immer, die Türverkleidung in die Leiste oben am Fenster wieder richtig einzusetzen.
Die Plastikleiste habe ich mit Pattex und ganz kurzen kleinen Schrauben, die nicht auf der anderen Seite rausstehen, an der Verkleidung fixiert.